【Z ポケもんだい 1】ゴルダックのハイドロポンプが ギルガルドのキングシールドに及ぼす力
1. 問題
図 1 に示すように，ゴルダック（Golduck）が，ギルガルド（Aegislash）に向けてハイドロポンプ（Hydro Pump）を発射している；ハイドロポンプは，流体の密度 ，直径
，速度
の噴流とみなすことができる．ギルガルドは，キングシールド（King's Shield）を展開して，ハイドロポンプを防いでいる；キングシールドは，噴流に対して垂直に置いた平板とみなすことができ，
方向に速度
で移動している．このとき，ハイドロポンプがキングシールドに及ぼす力
を求めよ．ただし，
，
，
，
，とする．また，重力の作用は無視する．
2. 解答
3. 解説
円筒形の検査空間を，図 2 に示すようにとる；平板に沿って，平板の圧力が変化しなくなるまで広くとる．
噴流（jet）：流体が，空間内に連続的に噴き出してつくる，棒状（二次元の場合は板状）の流れ．
噴流の周囲は，一様な圧力の静止流体．
ベルヌーイの定理 $$\begin{align} \frac{u^{2}}{2g} + \frac{p}{\rho g} + z = \rm{const.} \end{align}$$
より，圧力ヘッド，位置ヘッド
が一定なので，速度
は一定．検査空間の境界面についても同様．
検査空間に，運動量保存則（conservation of momentum）を適用する．
[単位時間あたりの検査空間内の運動量 蓄積量]
[境界面で単位時間あたりに検査空間内に流入する運動量]
[境界面で単位時間あたりに検査空間から流出する運動量]
[検査空間が受ける運動量方向の力の合計]
$$\begin{align} \frac{d}{dt}& \int_{V} \rho \boldsymbol{v}\ dV \\
&= (\dot{m}\boldsymbol{v}) _ {\rm{i}} - (\dot{m}\boldsymbol{v}) _ {\rm{o}} + \sum \boldsymbol{F}． \tag{1} \end{align}$$
ここで，時間 ，検査空間の体積
，質量流量
，速度ベクトル
，外力ベクトル
，流入：添字 i，流出：添字 o とした．
定常流では，式 (1) の時間微分の項 となり，
$$\begin{align} (\dot{m}\boldsymbol{v}) _ {\rm{i}} - (\dot{m}\boldsymbol{v}) _ {\rm{o}} + \sum \boldsymbol{F} = \boldsymbol{0}． \tag{2} \end{align}$$
方向の運動量の式を立てる．
図 2 より，平板に衝突する流量 は，噴流の断面積
とすれば，
$$\begin{align} Q' = (u - v)\ A． \tag{3}\end{align}$$
噴流の流量 $$\begin{align} Q = u A \tag{4} \end{align}$$
より，式 (3) は， $$\begin{align} Q' = \frac{u - v}{u} Q． \tag{5} \end{align}$$
平板に衝突する質量流量 $$\begin{align} \dot{m} = \rho Q'． \tag{6} \end{align}$$
平板に衝突する噴流の速度：平板に対する噴流の相対速度
$$\begin{align} v_{x} = u - v． \tag{7} \end{align}$$
持ち込み運動量は，式 (6)，式 (7) より， $$\begin{align} (\dot{m}v_{x}) _ {\rm{i}} = \rho Q'(u - v)． \tag{8} \end{align}$$
持ち出し運動量は， $$\begin{align} (\dot{m}v_{x}) _ {\rm{o}} = 0． \tag{9} \end{align}$$
検査空間にはたらく力の合計は， $$\begin{align} \sum F_x = -F． \tag{10} \end{align}$$
式 (9)：検査空間は，平板とともに移動する．また，流体は平板を通過しない．したがって，検査空間から
方向に流出する運動量はない．
式 (10)：流体が受ける力は，平板が受ける力の反作用．
式 (2) に，式 (8)〜式 (10) を代入して， $$\begin{align} \rho Q'(u - v) - 0 - F = 0． \tag{11} \end{align}$$
式 (11) と，式 (4)，式 (5) より $$\begin{align} F &= \rho Q' (u - v) \\ &= \rho Q\ \frac{(u - v)^{2}}{u} \\ &= \rho A\ (u - v)^{2}． \tag{12} \end{align}$$
題意より，
$$\begin{align} \rho = 1000\rm{\ kg/m^{3}}， \tag{13} \end{align}$$
$$\begin{align} A &= \frac{\pi d^{2}}{4} \\
&= \frac{\pi\ (240 \times 10^{-3} \ \rm{m})^{2}}{4} \\
&= 45.238... \times 10^{-3}\ \rm{m}^{2}， \tag{14} \end{align}$$
$$\begin{align} u - v &= u - \frac{u}{4} \\
&= \frac{3}{4} u \\
&= \frac{3}{4} \frac{110 \times 10^{3} \ \rm{m/\cancel{h}}}{3600\ \rm{s/\cancel{h}}} \\
&= 22.916...\ \rm{m/s}． \tag{15} \end{align}$$
求める力は，式 (12) に，式 (13)〜式 (15) を代入し， $$\begin{align} F &= 1000\rm{\ \frac{kg}{m^{3}}} \bullet 45.238... \times 10^{-3}\ \rm{m^{2}}\\ &\ \ \ \ \left(22.916...\ \rm{\frac{m}{s}}\right)^{2} \\ &= 23.758... \times 10^{3} \ \rm{\frac{kg\bullet m^{\cancel{4}}}{\cancel{m^{3}} \bullet s^{2}}} \\ &\simeq 23.8\ \rm{kN}．\ \ // \end{align}$$
